激光器可以在任何能夠在適當能級之間實現“粒子數反轉”的設備中實現。典型的設備是光學腔，但半導體也不應被排除在外。

　　負溫度——亞穩態熱力學狀態

　　我們已經在之前的文章中討論了所謂的“粒子數反轉”導致的“負絕對溫度”。

　　讓我們簡要回顧一下要點。對于一個具有N?1個粒子的系統，其能量在兩個能級ε=0(基態)，ε=E>0(第一激發態)上量子化，統計力學告訴我們，在熱力學平衡(在溫度T下)時，最密集的能級是基態ε=0。然而，從適當的分布函數的解析表達式可以推斷出，替換T→?T會導致粒子數反轉。這種情況并非形式上的，因為這種條件可以通過浸入磁場中的自旋系統來實現。

　　然而，這些是非平衡或亞穩態，因為系統傾向于恢復初始配置，其中基態是最密集的。在恢復過程中，系統發出的能量不超過反轉粒子數級所需的能量。因此，亞穩態的存在并不違反能量守恒原理。

　　光學腔

　　我們如何創建一個具有N?1個粒子的物理系統，在其中可以實現粒子數反轉?除了上述自旋系統的例子外，還有共振腔的物理上有趣的情況，即一個配備有完美反射壁的腔，關于電磁場的傳播。眾所周知，這樣的系統具有對應于駐波(共振頻率)的離散頻率譜。

　　在所討論的情況下，我們感興趣的是光學腔或具有可見區域特征頻率的共振腔。現在讓我們想象一下，在這個腔中填充大量相同的原子(典型的數量級是10^20)。從熱力學的角度來看，我們有一個與腔壁在給定溫度T下處于熱平衡的系統，我們假設后者使得單個原子處于基態，我們用E1表示。

　　在時刻t=0，我們在腔內激活一個可見區域的電磁場。一個以頻率ν振蕩的駐波場。從量子角度來看，我們可以使用含時微擾理論[1]單獨處理原子，因為每個原子都受到一個隨時間變化的外部場，這反過來決定了電子躍遷E1→En，使得En?E1=hν。

　　在這種情況下，光學腔模擬了前一節中提出的兩能級系統。因此，實現粒子數反轉的可能性被打開。在光學腔的情況下，我們將反轉通過光學泵浦獲得，其中泵浦由電磁場組成。

　　對應于粒子數反轉的熱力學狀態是亞穩態，因此系統傾向于恢復初始粒子數，并伴隨發射相同頻率ν的電磁輻射。發射輻射的單色性隨之而來。更具體地說，單個原子獨立地發射能量量子hν。在波傳播方面，用ψj(x,t)表示第j個原子發射的輻射場的通用分量，我們在復數表示法中有：

　　其中：A是振幅;kj是波矢;ω=2πν是角頻率;?j是相位。單色平面波具有共同的振幅和頻率，但沒有傳播方向和相位。確切地說，如果I是入射在單個原子上的輻射強度，存在一個臨界(或閾值)值IS，對于I

　　統計上，?j被描述為一個具有平坦功率譜(白噪聲)的隨機變量。由于N?1，離散分布?j很好地近似于一個連續分布?(j)，如前所述，這是一個白噪聲，如圖1所示。?(j)的自相關函數是一個狄拉克δ函數，因此除了原點外處處為零。物理上這意味著?從原子j到原子j′的值之間沒有相關性。

　　對于強度I～IS，自相關函數偏離了預測的δ形趨勢，?(j)呈現出典型的布朗噪聲趨勢(圖2)。對于I>IS，量?(j)變成一個確定性變量：發射的單個波列的相位之間存在相關性。超過閾值值的進一步特征是單個波列沿由波矢k定義的相同方向傳播。

　　由N個原子發射產生的場是一個相干場Ψ(x,t)，前提是?j是確定性的，即對于I>IS。相反，低于閾值值，單個波列的疊加描述了一個非相干輻射場。

　　對于I>IS，我們創建了一個激光器(Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation的縮寫)。在激光閾值以下，N個發射之間的相位相關性(即相干性)的破壞是熱源的典型特征，這些熱源由黑體模型表示：燈泡和恒星的發射光譜缺乏相干性。更準確地說，黑體也可以從一個具有完美反射壁并在溫度T下處于平衡的腔中創建。為了測量這個系統發射的單色輻射，需要配備一個適當的濾波器。然而，如上所述，輻射在上述意義上是非相干的，并且模擬了燈泡的鎢絲或恒星等離子體的發射。

　　從熱力學的角度來看，激光器處于亞穩態，因此我們被迫不關閉決定粒子數反轉的電磁場，這因此成為一個不可逆過程(否則，發射的能量可以自發地重新用于更多地填充能級E1，從而觸發新的激光循環)。如前一節所述，這并不違反能量守恒原理，系統是耗散的，但屬于非典型類別，因為它從環境中(泵浦)吸收無序能量，然后發射有序能量。這里的“有序/無序”二分法指的是發射輻射的相干性和入射輻射的非相干性。

　　我們是否可能面臨一個違反熱力學第二定律(更廣為人知的熵增定律)的系統?激光循環的不可逆性(除非向系統釋放能量)意味著熵的增加。然而，有序能量的發射將意味著熵的減少，因為這一量是物理系統無序程度的度量。在當前的知識狀態下，這個問題是開放的，主要是因為我們處理的是遠離平衡的熱力學系統，由于由此產生的微分方程的非線性，這些系統在數學上幾乎難以處理。順便說一下，這種行為似乎是生物等復雜系統的典型特征。對這些主題感興趣的讀者可以參考伊利亞·普里高津的出版物，他是首批研究遠離平衡的熱力學系統的學者之一2。

　　半導體

　　遲早會發生，這是不可避免的。它發生了……沒有人會知道為什么。也許一個電子沒有穿過晶格到另一個，由于來自太陽的X射線光子或高能宇宙射線，盡管有保護。(G. Harry Stine，又名Lee Correy的《星際駕駛員》)

　　第1節中描述的系統適合進行有趣的推廣。確切地說，我們不再考慮具有離散能譜的N?1個粒子的系統，而是嘗試創建具有連續能譜的N?1個粒子的系統。一個典型的例子是由半導體給出的，這些半導體具有連續的單粒子能譜，盡管被帶隙分隔開。

　　另一方面，在之前的教程中，我們確立了從熱力學的角度來看，半導體的行為主要由導帶中的電子決定。后者構成了一個“理想的費米氣體”，或者是完美氣體的一個特例，因為電子之間的庫侖排斥與正離子施加的吸引力相比可以忽略不計，正離子的周期性勢能反過來決定了單電子能譜的帶結構。

　　然后我們引入了“空穴”的概念，定義為“電子的缺失”。這一概念唯一地確定了空穴能級的統計分布，從電子的分布開始，我們在這里重寫：

　　因此，所研究的半導體被簡化為一個在溫度T和化學勢μ(T)下處于平衡的單一熱力學系統。然而，在更現實的描述中，我們有一個第二熱力學系統，即在溫度T下占據價帶能級的電子，如圖3所示。

　　請注意，這些電子以共價鍵成對結合，但作為第一近似，我們可以認為這種鍵的強度可以忽略不計(實際上，在室溫下，熱能足以打破大量的共價鍵)，因此通過理想費米氣體進行簡化。由此出現了由圖4圖形表示的一對(Sc, Sv)熱力學系統，連接它們的連續線概述了各個系統的傳熱和擴散接觸。換句話說，它們交換能量和粒子。關于后者，可以想到共價鍵的斷裂，導致電子轉移到價帶，或者隨機事件，如能量>εg的光子，撞擊晶體后從共價鍵中釋放電子。

　　可以合理地假設一種熱平衡但非擴散平衡的條件，為此各自的化學勢具有不同的值，盡管由相同的溫度T決定。各自的分布函數如下：

　　擴散過程主要涉及載流子的遷移和復合，因此假設熱平衡是合理的，因為過量載流子復合過程的特征時間從10^-3秒到10^-9秒不等。相比之下，Sv和Sc(或晶體的任何子系統對)之間的熱平衡在10^-12秒的時間間隔內達到。因此，在半導體中，熱化過程在復合過程的時間尺度上是即時的。

　　在圖5中，兩個系統Sv和Sc達到了擴散平衡，其特征是化學勢μ(T)的唯一值，對于不太高的T，該值位于帶隙中間。在圖6中，上述系統處于熱平衡但非擴散平衡。

　　此時，很明顯，可以通過某種手段(例如，通過電子注入)實現粒子數反轉。激活激光循環的必要條件由不等式fc(0)>fv(?εg)給出，這保證了粒子數反轉。從方程(3)立即得出μc(T)?μv(T)>εg，即，各自的化學勢之差必須大于帶隙(圖7)。

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